泰勒公式是由英国数学家泰勒（Brook Taylor）于1715年发表的一份论文中提出的。泰勒公式最初是为了解决函数在某一点的展开问题而提出的。
如何通俗易懂的理解
泰勒级数公式是一种数学工具，用于把某个函数表达成一个无限多项的数列之和的形式。例如，你可以用泰勒级数公式来展开一个三角函数、指数函数等等。
泰勒级数公式的表述非常抽象，但也可以通俗易懂地理解。大致来说，泰勒级数就像是一条链接不断的贝壳链，每个贝壳都是用相邻的贝壳连接起来的，最后，我们可以通过无限连接这些贝壳，来得到一个完整的贝壳链。在泰勒级数中，f(x)可以看做“完整的贝壳链”，而每一项f'(x0)(x-x0)/1!，f''(x0)(x-x0)^2/2!等等，则是链接在贝壳链上的各个部分。
展开点x0可以被认为是链的起点，每个贝壳都连接在前面一个贝壳的末尾。此外，每个贝壳的长度根据其链接形式不同而不同，正如每个泰勒项的系数也根据涉及的导数阶数和阶乘因子而不同。最后，泰勒级数公式表示的函数实际上是一种近似表达，它在展开点附近有较好的近似精度。
其详细的推导过程：
泰勒级数，又称为幂级数，是将某个函数表示成无限项的多项式之和的表述方法。也就是说，当一个函数在某个点x=x0处有充分的可导性质时，我们可以使用一个无限项和的级数来表示它。具体来说，泰勒级数的公式如下：
f(x) = f(x0) + f'(x0)(x-x0)/1! + f''(x0)(x-x0)^2/2! + f'''(x0)(x-x0)^3/3! + ... + f^n(x0)(x-x0)^n/n! + ...
其中，f(x)代表要用泰勒级数展开的函数，x0代表要展开的点的位置，f'(x0)代表f(x)在x=x0处的一阶导数，f''(x0)代表f(x)在x=x0处的二阶导数，以此类推。n代表要展开的项数，n!表示n的阶乘。
使用泰勒级数公式，我们可以在给定函数在某个点的导数和展开点的附近范围内经过无数次的求导，从而得到一个函数的幂级数展开式。这个幂级数展开式在某些情况下可以用于近似计算和数值求解。
需要注意的是，泰勒级数只有在某些条件下才能展开出有效的幂级数，例如，函数在展开点及其附近需要有充分的导数可导性质。此外，泰勒级数展开式的每项系数实际上是函数在展开点的导数值，因此，可能存在x在展开点附近可以收敛，但在展开点附近以外不可收敛的情况。
解决的主要问题：
在计算和数学分析中，函数在一个点的展开是一种有用的技术，可以将一个函数表示为一个无限多项式的和，通过截取前几项，可以对函数进行近似计算。因此，函数在一个点的展开是很重要的，主要用于解决以下几个问题：
1. 多项式逼近：用一个多项式来近似表示一个函数，例如通过三阶泰勒展开式可以将一个函数表示为一个三次多项式的和，从而实现对其进行高精度的逼近计算。
2. 数值积分：通过对展开式进行积分，可以更容易地计算出函数在某个区间内的积分值。
3. 数值微分：计算机通过数值方法计算导数和微分时，可以使用泰勒级数构造出各种近似方式，从而处理高阶导数等复杂的问题。
总之，泰勒公式的提出解决了从一个点出发将函数展开的问题，使得我们能够更加方便地对函数进行处理和计算，其思想和方法在数学计算和科学研究中有着广泛的应用。
