一:关于y=sinx正弦函数的轴对称推导过程:
问题: 求证y=sinx的轴对称为x=kπ+π/2
证明过程如下:
设f(x)=sinx, 关于直线x=a轴对称,根据前文轴对称的推导过程和轴对称的性质有如下等式成立
f(x+a)=f(x-a) (对称性基本等式成立)
即: sin(x+a)=sin(a-x) (1)
根据三角函数和差展开公式 ,将其展开
sinxcosa+cosxsina=sinacosx-sinxcosa
整理得到: 2sinxcosa=0,
由于任意x对于定义域该等式要恒成立,要求a
所以cosa=0
cosa要等于0,则
a=2kπ+π/2 ( 2)
或a=2kπ-π/2 (3)
我们可以将(3)写成 a=(2k-1)π+π/2 (4)
对比(2) (3),2k与2k-1 均为整数,且一个偶数一个奇数,于
是可以合并得到 : a=kπ+π/2 (k属于整数) x=a=kπ+π/2
结论: y=sinx的轴对称为x=kπ+π/2
二: y=sinx 中心对称推导过程:
问题: 求证y=sinx的对称中心为A(kπ,0)
证明过程: 设f(x)=sinx,关于A(a,0)中心对称,则根据中心对称的性质和结论,必然符合如下等式:
f(x+a)+f(a-x)=2b=2*0=0 (由于b=0)
即: sin(x+a)+sin(a-x)=0
三角函数和差展开公式得到:
sinxcosa+sinacosx+sinacosx-cosasinx=0
整理:2sinacosx=0 ,由于对于任意x属于定义域,等式要恒成立,于是我们得到
sina=0
根据正弦三角函数性质:解得方程 (sinπ=0 ,sin0=0)
a=2kπ+π=(2k+1)π
或 a=2kπ (k属于整数)
因为2k+1,2k代表所有的整数,整理合并得到(可以用一个k来代替)
a=kπ (k属于整数)
于是对称中心A可以表示为 A(kπ,0) k属于整数. 得证明
三:归纳总结:
1.sinx的轴对称和中心对称,如果你记不住,就自己通过基本对称性等式来进行证明推导,在轴对称推导过程中,最后实际解开的方程是cosa=0, 在中心对称推导过程中,最后实际要解开的方程是sina=0,明白这个就比较容易理解和记忆.
当然你也可以画图,直观来了解,加深记忆和理解.但是最终还是要通过推导来验证.
轴对称: cosa=0
中心对称: sina=0
2.sinx是一个高中基本且非常重要的函数, 包括后面的所有y=sin(wx+p)都是由其平移伸缩变换而来的,因此要深入了解sinx的轴对称和中心对称的核心推导原理才会掌握扎实.
